Publicado por: Guilherme Byrro Lopes | 27/08/2011

Modelo de Robinson Crusoé Sustentável


Esse post segue ligeiramente diferente do comum já que, preciso me justificar pela demora em continuar a postar e manter o Blog vivo. Dessa vez o trabalho é um pouco mais técnico porém, vou tentar manter o objetivo de tornar a leitura fácil (com um pouco de cálculo e algumas noções básicas de economia). Para que ninguém se desanime antes de ver as fórmulas, vou tentar explicar antes qual a idéia do que segue abaixo. Basicamente o que segue abaixo é um modelo que pode ser encontrado num artigo acadêmico de Levinson*. A hipótese do modelo, que vai ficar clara no final, é que existe uma relação de U-invertido entre renda per capita e poluição. Nesse sentido, para baixos níveis de renda per capita, conforme aumenta a renda, o país gera mais poluição até um ponto que começa a haver incentivos para reduzir a poluição mesmo com aumento de renda, gerando um U-invertido.

Em economia, uma das estratégias mais comuns é começar a tentar entender uma realidade complexa a partir de um modelo inicialmente simples e depois tentar sofisticá-lo. Assim, o modelo mais simples que existe é inspirado numa economia que possui apenas um produtor, que produz apenas um bem e um consumidor,  considera-se também que o produtor e o consumidor são a mesma pessoa. Mas como imaginar algo assim se a economia é tão complexa, existem tantos consumidores, em diferentes países, produzindo e transacionando milhares de bens? É fácil, basta imaginar uma pessoa sozinha em uma ilha deserta e longe da civilização, ou seja, um náufrago que ainda não foi resgatado. Esse tipo de modelagem ficou conhecida como Economia de Robinson Crusoé, depois do famoso livro de 1719, Robinson Crusoe, de Daniel Defoe, que inspirou o filme “O Náufrago” de Tom Hanks. Com modelos simples assim pode-se tirar importantes conclusões com a utilização de poucas variáveis.

Mas como interpretar essa situação? Imaginem que Robinson Crusoé está na ilha, sozinho e abandonado, e precisa de alimento. Logo, vai atrás dos saborosos côcos da ilha em que naufragou. Simplificando ainda, imagine que os cocos crescem sozinhos sem que nosso amigo precise plantas mais palmeiras. Assim, uma opção de atividade de Robinson é catar coquinho. Além disso, o modelo considera que pode haver poluição ou degradação ambiental. Em que sentido? Depois de consumir o coco e a água, sobra a casca do coco, que pode ser jogada por ai ou pode ser jogada num lugar próprio, como um aterro ou um “lixão” (aqui prefiro pensar num lugar próprio como sendo um vulcão, assim fica tudo mais fácil), sendo essa outra possibilidade de atividade. Quais atividades serão exercidas? Bom, consumir coco pode ser pensado como algo positivo, que dá prazer e sustendo para Robinson e jogar a casca de coco no chão não é a melhor coisa a se fazer porque atrapalha a andar, pode machucar o pé, etc., de maneira que é uma coisa que traz desconforto. Com isso podemos pensar numa função de utilidade (U) para Robinson como dependendo do quanto ele consome de coco (C)e  do quanto de cocos no chão ele joga (quanto mais coco, melhor, e quanto mais casca, pior). Da mesma maneira pode-se pensar em uma função de poluição (P), que é crescente em relação ao número de côcos consumidos (C), mas que pode se reduzir se Robinson tiver um pouco de esforço (E) para subir até o vulcão jogar as cascas de coco fora.  Assim, formalmente, temos que:

Nessa ilha tão cheia de atividades, Robinson pode decidir quanto ele vai gastar de tempo subindo nos coqueiros pra pegar coco e quanto tempo ele vai ao vulcão jogar fora as cascas. Assim, chama-se de M a dotação inicial, que é uma medida de renda (considerando renda como o retorno de alguma atividade produtiva). De maneira geral, Robinson pode ficar descansando e não produzir nada, mas isso não traz utilidade pra ele porque ele gosta mesmo é de consumir coco. Assim, o menu de opções que ele pode escolher é relativo ao quanto de cada uma das 2 atividades ele vai exercer (como ele é o único produtor, C é o quanto ele vai catar de coco e esse também é o “pagamento”, no sentido de renda; e também, como é o único produtor de uma atividade de limpeza E, o pagamento é o ambiente limpo e, logo, igual ao esforço E). A soma das rendas é o quanto ele recebe no total, que é sua dotação. Assim, pode-se escrever:

Ao atribuir uma forma funcional para as funções de utilidade e de poluição, fica mais fácil analisar o problema. Suponha que cada coco gera 1 unidade de consumo e 1 unidade de utilidade e que se ele joga fora a casca pelo chão isso traz 1 unidade de desutilidade. Qual a importância das unidades? Nenhuma, é pra facilitar a conta (já que a utilidade é uma medida bastante subjetiva, mas pode ser comparada relativamente à outra utilidade, ou seja, consumir é bom, poluir é ruim). Suponha também consumir coco gera poluição, mas que pode ser amenizada se ele se esforçar e jogar as cascas no vulcão. Os termos “α” e “β” são referentes à tecnologia em cada uma das 2 atividades (uma função tradicional do tipo Cobb-Douglas). Então:

Tomando as derivadas parciais, temos uma medida de impacto marginal das variáveis. As duas primeiras são triviais. No caso da poluição (2 últimas derivadas): uma unidade adicional de consumo  gera uma unidade de poluição reduzida do quanto ele se dedica à limpeza, ou seja, pode crescer menos do que proporcionalmente; e uma unidade adicional de esforço contribui para reduzir a poluição, na relação descrita abaixo. Assim:

Substituindo a função de poluição na função de utilidade temos que:

Para que Robinson maximize sua utilidade, ou seja, encontre qual a melhor proporção entre alocação de tempo entre as atividades de consumir coco e limpar sua praia, basta maximizar a função utilidade encontrada acima, considerando que as 2 atividades juntas rendem M (rendimento das atividades produtivas) para Robinson. Dessa maneira pode-se montar o lagrangiano L:

Calculando as condições de primeira ordem,

e resolvendo o problema de otimização, chegamos no consumo “ótimo” e no esforço “ótimo”. Os valores “ótimos” são denotados com um “*” após a variável. Note que os valores ótimos são funções dos parâmetros “α” e “β”, referentes à tecnologia (que são exógenos), e  também função da renda M. Substituindo na função de poluição, encontra-se qual o nível de poluição “ótima”, no sentido que é a poluição que Robinson tolera, dado um patamar de renda M. Ou seja:

O que isso quer dizer? A poluição é dita “ótima” pois resulta do problema de otimização, mas não quer dizer que ter poluição é uma coisa ótima. Como assim? Por exemplo, imagine que Robinson comeu um coco, fruto da atividade C, que gera poluição, uma casca de coco. Para alguns cocos apenas, Robinson não teria problema em jogar fora na praia as cascas, mas o lixo vai se acumulando de maneira que, em determinado ponto, fica tão suja a praia que ele começa a se incomodar e passa a levar as cascas pro vulcão. Nesse raciocínio, não teria problema, por exemplo, ele deixar no canto da praia algumas cascas, que ainda não estão incomodando. Ter algumas cascas é poluição, é nesse sentido que se caracteriza a poluição ótima ou aceitável. Note que a poluição ótima (última fórmula) é função de parâmetros exógenos e da renda M.

Para que a análise seja completa, é preciso saber o que acontece com a poluição na medida em que Robinson aloca suas horas nas atividades e altera a renda M. Como assim? Imagine que no primeiro dia de naufrágio, Robinson decida pegar uma praia e não fazer nada. Se não faz nada, não consome nada nem polui, mas fica com fome. No segundo dia resolve pegar um coco e percebe que é bom, é melhor do que não fazer nada, então decide que é melhor aumentar as horas dedicadas a atividade C. Bom, mas quando aumenta C, sabendo que M=C+E, M também aumenta. Assim, como C gera cascas de coco como lixo, em algum momento ele passa a se dedicar também à atividade E, de limpeza. Tanto C quanto E fazem aumentar M. Quando M aumenta, dada a última fórmula acima, tanto pode ser que aumente a poluição, já que ela depende da renda M, quanto pode ser que diminua. Como “α” e “β” são constantes, e o que queremos mesmo saber é como a poluição reage pra mudanças na renda, chame:

,

Assim, pode-se escrever a mesma equação para P* da seguinte maneira,

Você pode estar pensando “nossa, quanto termo grego que eu não sei nem o nome, que coisa difícil”, mas tenha calma! O que queremos mesmo entender é a segunda equação, o efeito marginal de um aumento na renda sobre a poluição. Assim, basta derivar a primeira equação abaixo em relação à renda M, ou seja, os outros parâmetros não atrapalham em nada a notação. Segue que:

O primeiro termo do lado direito da igualdade é Ψ, que é uma constante, assim como quase todos os termos que seguem, com exceção da renda M, que é fruto da escolha de Robinson. O que isso quer dizer? Quer dizer que se a segunda parte for maior do que Ψ, o efeito marginal é negativo, ou seja, um aumento da renda reduz a taxa de poluição; mas se for menor do que Ψ, o efeito é positivo e um aumento da renda aumenta a poluição? Mas como isso se dá? Como analisar? A proposta é analisar 3 casos, considerando 3 diferentes cenários para valores de “α” e “β”, considerando os efeitos de escala. Dessa maneira, a soma dos parâmetros pode ser maior do que 1, igual a 1 ou menor do que 1. Graficamente, temos:

 

 

 

 

Como ler os gráficos? Para cada cenário considera-se um tipo de rendimento de escala para , α+β. Considere no eixo X a renda (M) como sendo o número de horas de Robinson dedicada às atividades produtivas. Assim:

  • α+β=1 ( rendimentos constantes de escala) – Nesse caso, um continuo aumento da renda impacta na poluição de maneira positiva, ou, pelo gráfico 1, existe uma proporção que, quando mais aumenta a renda, mais aumenta a poluição. Pode ser visto no gráfico 2 a inclinação ou taxa de crescimento da poluição, que nesse caso é constante, dado o tipo de retorno de escala.
  • α+β<1 ( rendimentos decrescentes de escala) – Com esse tipo de  retorno, pode ser que ele seja eficiente em se livrar das primeiras unidades consumidas de côco, mas na medida que vai consumindo mais e gerando mais lixo, fica menos eficiente em jogar fora as cascas e vai acumulando lixo na praia. No segundo gráfico, nota-se que a taxa de crescimento varia, mas no final fica positiva e se acomoda em um patamar (a depender dos parâmetros).
  • α+β>1 ( rendimentos decrescentes de escala) – Se isso acontecer, nos níveis iniciais de renda é um aumento da poluição mas, até certo nível de renda. A partir de um ponto onde a poluição atinge um máximo (gráfico 1), é possível ver que a poluição pode decair, ou seja, ficar mais rico e ao mesmo tempo reduzir a poluição/sujeira na praia. Pelo gráfico 2 pode-se ver que a taxa de crescimento da poluição é sempre declinante (quando atinge 0, é o ponto de máximo do gráfico 1). Assim, forma-se um U-invertido.

Esse tipo de relação de U-invertido gerou diversos estudos que identificam que existe, na realidade, esse tipo de comportamento entre crescimento da renda e poluição. A hipótese de existência dessa curva é conhecida como CURVA AMBIENTAL DE KUZNETS (CAK) ou Environmental Kuznets Curve (EKC). Um modelo simples assim é capaz de demonstrar alguma ligação com a realidade. Nesse sentido, caberia entender como se comportam os parâmetros exógenos do modelo “α” e “β”. Um aumento do fator tecnológico na atividade de redução de poluição (por exemplo, a criação de um carrinho de mão para levar as cascas de coco até o vulcão) permite reduzir mais rapidamente a poluição. As perguntas que seguem são: qual a velocidade em que isso acontece; e se a poluição começar a prejudicar o ambiente da ilha (no sentido de poluição não ser apenas cascas de coco, mas todo lixo gerado por Robinson na ilha; e se tiverem mais produtos, qual a nova condição; e se chegar um novo naufrago, será que a decisão de poluição dos 2 habitantes isoladamente é a melhor; existe uma decisão socialmente ótima melhor do que se cada um decidir sozinho; se a função de utilidade mudar, dentre outras.

Esse tipo de hipótese continua a ser explorada pelos economistas, com modelos bastante mais complexos do que esse. Apesar disso, o modelo de Economia de Robinson Crusoé é uma maneira interessante de simular o que pode acontecer. Descobrir quais são os “α” e “β” dos países, por exemplo, requer um trabalho econométrico e pode encontrar diferentes parâmetros para os países, no sentido que alguns poluem mais que outros. Pretendo apresentar mais modelos simples que tratam desse tipo de hipótese mais pra frente, espero que a linguagem não tenha causado dificuldade na compreensão do modelo.

*Levinson, Arik (2001) – “The ups and downs of the environmental Kuznets curve”   ou (link)


Responses

  1. […] paulistano mete a faca lagrangiana no coração de Crusoé. Divirta-se. Share this:FacebookPrintTwitterLike this:LikeBe the first to like this post. […]

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